C. Ñ. Q. D.
Proposição: sejam f e g duas funções contínuas e crescentes de R em R, de maneira que f(0) < g(0) e f'(x) > g'(x), para qualquer x > 0. Então existe z tal que f(z) > g(z).
(Para os leitores que não fizeram Cálculo I, uma figura ilustrativa: 
Explicação: f é inicialmente menor do que g, porém cresce mais rápido. Com isso, em tempo finito, ela acaba se tornando maior, f(z) > g(z)).
Corolário: São Paulo campeão brasileiro. De novo. Porra.
(Para os leitores que gostam de sofrer/não tem nada para fazer: eu só imaginei uma demonstração para o caso em que as derivadas são sempre positivas mas também não fiz nenhuma conta. Me parece válido para derivadas assumindo quaisquer valores, desde que f'(x) > g'(x) em todos os pontos. Usando o Teorema do Valor Médio deve dar pra mostrar isso com rigor para o caso crescente, fiquem à vontade para fazê-lo. No outro eu pensei em usar o Teorema Fundamental do Cálculo, integrando f' e g', mas novamente deu preguiça de ver se ia realmente funcionar).
2 comentários:
nem eh verdade esse teorema..
contra exemplo (considerando o dominio = R+):
g(x)=1
f(x)=1-1/x
se vc quiser funcoes crescentes
g(x) = x
f(x) = x-1/x
PS: isso nao implica que o palmeiras tem chances de ganhar o campeonato!!
PPS: seu grafico ficou bem bonito... principalmente pra um grafico feito no paint!
Não vou dar uma de gostoso e dizer que eu sabia que não era válido...mas confesso que fiquei com medo de afirmar que era verdade mesmo e por isso chamei apenas de "proposição" e não de "teorema", hehehe.
1/x sempre fode a vida, impressionante...e impressionante também que existem infinitos exemplos, qualquer outra coisa assintótica serviria. Falha nostra...
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